Задача 111549

Темы:    [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ] [ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Диагонали AC и BD трапеции ABCD с основанием AD и BC пресекаются в точке O . Известно, что AD=2BC и площадь треугольника AOB равна 4. Найдите площадь трапеции.

Решение

Треугольник BOC подобен треугольнику DOA с коэффициентом , значит, OC = AO , поэтому

S_{Δ BOC} = S_{Δ AOB} = · 4 = 2,

S_{Δ DOA} = 2S_{Δ AOB} = 2· 4 = 8,
а т.к. треугольники ABD и ACD равновелики (у них общие основания и равные высоты), то
S_{Δ COD} = S_{Δ ACD} - S_{Δ DOA} = S_{Δ ABD} - S_{Δ DOA} = S_{Δ AOB} = 4.
Следовательно,
S_ABCD = 2S_{Δ AOB}+S_{Δ BOC}+S_{Δ DOA}= 2· 4 + 2 + 8 = 18.

Ответ

18.00

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4654