Задача 111527

Темы:    [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Две стороны треугольника равны соответственно 6 и 8. Медианы, проведённые к серединам этих сторон, пересекаются под прямым углом. Найдите третью сторону треугольника.

Решение

Пусть M и N – середины сторон AC=6 и BC=8 треугольника ABC , O - точка пересечения медиан BM и AN . Обозначим OM = x , ON = y . Тогда BO = 2OM = 2x , AO = 2 ON = 2y . Из прямоугольных треугольников AOM и BON находим, что

AM2 = AO2+ OM2, BN2 = BO2 + ON2,
или

Сложив почленно эти равенства, получим, что
5(x2 + y2) = 25.
Поэтому x2+ y2 = 5 . Из прямоугольного треугольника AOB находим, что
AB2 = AO2 + BO2 = 4y2 + 4x2 = 4( y2 + x2) = 4· 5.
Следовательно, AB = 2 .

Ответ

2 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4612