Задача 111524

Темы:    [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ] [ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Найдите углы равнобедренного треугольника, зная, что точка пересечения его высот лежит на вписанной окружности.

Решение

Пусть O – центр окружности, вписанной в треугольник ABC ( AC= BC ), H – точка пересечения высот, CAB = CBA = α , K – середина AB . Тогда

OK = AK tg , HK = AK tg (90^o-α) = AK ctg α.
Поскольку HK = 2OK , то 2 tg = ctg α . Пусть tg = t . Тогда полученное уравнение имеет вид
2t = .
Отсюда находим, что t2= . Следовательно,
cos α = = .

Ответ

arccos , arccos , π - 2 arccos .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4609