Задача 111518

Темы:    [ Площадь круга, сектора и сегмента ] [ Касающиеся окружности ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Круг вписан в круговой сектор с углом 2α . Найдите отношение площади сектора к площади круга.

Решение

Пусть AOB – круговой сектор круга радиуса R с центром O и площадью S1 , Q – центр круга радиуса r и с площадью S2 , вписанного в сектор, C и D – точки касания этого круга с исходной окружностью и её радиусом OA соответственно. Центр вписанной в угол окружности лежит на биссектрисе этого угла, поэтому DOQ = AOB = α . Линия центров двух касающихся окружностей проходит через точку их касания, поэтому точки O , Q и C лежат на одной прямой, значит, OQ = OC-QC = R-r . Из прямоугольного треугольника DOQ находим, что QD = OQ sin DOQ , или R-r=r sin α , откуда r= . Следовательно,

= = = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4603