Задача 111517

Темы:    [ Площадь круга, сектора и сегмента ] [ Вписанный угол равен половине центрального ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Диаметр окружности радиуса r является основанием правильного треугольника. Найдите ту часть площади треугольника, которая лежит вне круга.

Решение

Пусть окружность с центром O , построенная на стороне BC равностороннего треугольника ABC как на диаметре, пересекает его стороны AB и AC в точках M и N соответственно. Тогда CM – высота треугольника ABC . Поэтому M – середина AB и треугольник MOB подобен треугольнику ACB с коэффициентом . Следовательно,

S_{Δ MOB} = S_{Δ ABC} = · = .
Аналогично,
S_{Δ NOC} = S_{Δ ABC} = .
Поскольку MON = 60^o , то площадь сектора MON составляет шестую часть площади круга радиуса r , т. е. S_сект.= . Следовательно, искомая площадь равна
S_{Δ ABC}-2S_{Δ MOB}- S_сект. = - = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4602