Задача 111513

Темы:    [ Отношение площадей треугольников с общим углом ] [ Теорема косинусов ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

В треугольнике ABC угол A равен 60^o ; AB:AC=3:2 . На сторонах AB и AC расположены соответственно точки M и N так, что BM=MN=NC . Найдите отношение площади треугольника AMN к площади треугольника ABC .

Решение

Положим AB=3t , AC=2t , BM=MN=NC=x . По теореме косинусов

MN2 = AM2+AN2-2AM· AN cos 60^o, x2 = (3t-x)2+(2t-x)2 - (3t-x)(2t-x),
откуда x=t . Тогда
AM = 3t-x=3t-t = t, AN = 2t-x=2t-t = t,
следовательно,
=· = · = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4598