Задача 111498

Темы:    [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Отношение площадей подобных треугольников ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Найдите площадь треугольника, медианы которого равны 10, 10 и 16.

Решение

Пусть B1 — середина стороны AC=16 треугольника ABC , M — точка пересечения его медиан. На продолжении медианы BB1 за точку B1 отложим отрезок B1K , равный MB1 . Тогда AMCK — параллелограмм, CK = AM .
Стороны треугольника KMC составляют соответствующих медиан треугольника ABC . Поэтому треугольник KMC подобен треугольнику, стороны которого равны медианам треугольника ABC . Тогда площадь треугольника KMC составляет площади равнобедренного треугольника со сторонами 10, 10, 16, т.е.

S_{Δ KMC} = · 48 = .

Следовательно,
S_{Δ ABC} = 6S_{Δ B}1MC = 6· S_{Δ KMC} = 3· =64.

Ответ

64 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4583