Задача 111494

Темы:    [ Теорема синусов ] [ Теорема косинусов ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Две стороны треугольника равны a и b . Найдите третью сторону c треугольника, если его угол, лежащий против третьей стороны, в два раза больше угла, лежащего против стороны, равной b .

Решение

Обозначим через α угол, лежащий против стороны, равной b . По теореме синусов

==.
Поскольку
sin 3α = sin α(2 cos 2α + 1),
то
2 cos 2α = .
Тогда по теореме косинусов
c2 = a2 + b2 - 2ab cos 2α = a2 + b2 - a(a - b) = b2 + ab = b(a+b).


Обозначим через α угол, лежащий против стороны, равной b . Если l – биссектриса угла, противолежащего искомой стороне c , то
l = .
С другой стороны, эта биссектриса отсекает от данного треугольника равнобедренный треугольник с основанием a и углом при основании α . Поэтому
l = .
Следовательно,
2 cos 2 α = , cos 2α = 2 cos 2α - 1 = .
Тогда по теореме косинусов
c2 = a2 + b2 - 2ab cos 2α = a2 + b2 - a(a - b) = b2 + ab = b(a + b).


Проведём биссектрису CD треугольника ABC , в котором BC=a , AC=b . Тогда ACD = BCD = ACB = ABC , значит, треугольник СDB – равнобедренный, CD=DB , а треугольники ACD и ABC подобны (по двум углам). Поэтому отношение суммы сторон AD и DC , заключающих угол ADC треугольника ACD , к сумме сторон AC и BC , заключающих угол ACB треугольника ABC , равно коэффициенту подобия, т.е. отношению сторон AC и AB . Поскольку CD=BD и AB = AD+DB = AD+DC , то
= , = ,
Отсюда находим, что
AB2 = b(a+b), AB = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4096