Задача 111474

Темы:    [ Три окружности одного радиуса ] [ Равные треугольники. Признаки равенства ] [ Признаки и свойства параллелограмма ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Три равные окружности пересекаются в одной точке. Докажите, что треугольник с вершинами в остальных точках попарного пересечения окружностей равен треугольнику с вершинами в центрах окружностей.

Решение

Пусть данные окружности с центрами O₁ и O₂ пересекаются в точке A, окружности с центрами O₂ и O₃ – в точке B, окружности с центрами O₁ и O₃ – в точке C, а M – общая точка трёх окружностей. Стороны четырёхугольника O₁MO₂A равны как радиусы равных окружностей, поэтому O₁MO₂A – ромб. Аналогично O₁MO₃C – ромб, значит,  AO₂ = O₁M = CO₃  и  AO₂ || CO₃,  поэтому четырёхугольник AO₂O₃C – параллелограмм. Следовательно,
AC = O₂O₃.  Аналогично  BC = O₁O₂  и  AB = O₁O₃. Таким образом, треугольники ABC и O₃O₁O₂ равны по трём сторонам.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4620