Задача 111459

Темы:    [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ] [ Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

В полукруг радиуса R с центром в точке O вписан квадрат ABCD так, что точки A и D лежат на диаметре, а точки B и C – на окружности. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник OBC .

Решение

Обозначим OA=x . Тогда AB=AD = 2x . По теореме Пифагора OA2+AB2=OB2 , или x2+4x2 = R2 , откуда x= . Пусть p – полупериметр равнобедренного треугольника OBC , S – площадь, r – радиус вписанной окружности. Тогда

S = BC· AB = · 2x · 2x2=x2= ,

p= OB+BC = R+x=R+ = .
Следовательно,
r= = = = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4565