Задача 111453

Темы:    [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ] [ Признаки и свойства касательной ] [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

В равнобедренном треугольнике ABC , у которого AB=BC и угол B равен , опущен перпендикуляр AD на сторону BC . В треугольники ABD и ADC вписаны полуокружности так, что их диаметры лежат соответственно на BD и AD . Найдите отношение площадей построенных полукругов.

Решение

Пусть полуокружность радиуса R с центром в точке Q на стороне BC треугольника ABC касается боковой стороны AB в точке P , а окружность радиуса r с центром O на отрезке AD касается основания AC . Из равнобедренных прямоугольных треугольников BQP и ABD находим, что

BQ = PQ = R, BD = BQ+QD = R+R, AB = BD = 2R+R,
поэтому
CD = BC-BD = AB -BD = (2R+R)- (R+R) = R.
Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла, поэтому
OCD = ACB = (- ) = .
Из прямоугольного треугольника OCD находим, что
= = tg OCD = tg ,
следовательно, отнощение площадей кругов равно
= tg2 .

Ответ

tg2 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4559