Задача 111450

Темы:    [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ] [ Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними) ] [ Длины сторон, высот, медиан и биссектрис ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Пусть c – длина гипотенузы, – длина биссектрисы одного из острых углов прямоугольного треугольника. Найдите катеты.

Решение

Пусть AK – биссектриса прямоугольного треугольника ABC с гипотенузой AB=c , проведённая из вершины A острого угла, AK= . Обозначим BAC = α . Тогда

AC = c cos α, S_{Δ ABC} = AB· AC sin α = c· c cos α· sin α= c2 sin cos cos α.
С другой стороны
S_{Δ ABC} = S_{Δ ABK}+S_{Δ ACK}= AB· AK sin + AC· AK sin =

=AK sin (AB+AC)= · sin (c+c cos α)= sin cos2,
значит,
c2 sin cos cos α = sin cos2, cos α = cos , cos2 α = cos2 ,

3 cos2 α =(1+ cos α), 6 cos2 α - cos α -1=0,
откуда находим, что cos α = , α = 60^o . Следовательно,
AC = , BC = .

Ответ

, .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4556