Задача 111443

Темы:    [ Теорема косинусов ] [ Теорема о сумме квадратов диагоналей ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

В параллелограмме отношение сторон и отношение диагоналей одинаковы и равны . Из вершины тупого угла A опущна высота AE на большую сторону CD . Найдите отношение .

Решение

Пусть ABCD – параллелограмм с тупым углом при вершине A . Положим AD=a , CD=2a , AC = d . Поскольку против тупого угла параллелограмма лежит большая диагональ, то BD = 2d . Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон, поэтому

2a2 + 2· 4a2 = d2+ 4d2,
откуда d2 = 2a2 . Обозначим ADC = α . Из треугольника ADC по теореме косинусов находим, что
cos α = = = .
Тогда
DE = AD cos α = a, EC= DC-DE = 2a-a =a.
Следовательно, = = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4549