Задача 111433

Темы:    [ Ортогональное проектирование ] [ Углы между прямыми и плоскостями ] [ Правильная призма ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Сторона основания ABC правильной призмы ABCA1B1C1 равна a . Точки M и N являются соответственно серединами рёбер AC и A1B1 . Проекция отрезка MN на прямую BA1 равна . Определите высоту призмы (найдите все решения).

Решение

Пусть K и F – середины BC и AB соответственно. Тогда MK и MF – средние линии треугольника ABC . На продолжении отрезка MK за точку M отложим отрезок ML=MK= . Поскольку MLA1N – параллелограмм, A1L=MN и A1L || MN . Тогда угол между скрещивающимися прямыми MN и BA1 равен углу между пересекающимися прямыми LA1 и A1B . Пусть этот угол равен α , а высота призмы равна h . Из прямоугольных треугольников BAA1 и MFN находим, что

A1B = = , MN = = .
Тогда A1L=MN = . Из равенства треугольников AML и CMK следует, что AL=CK = и AL || BC , поэтому BAL = 180^o - ABC = 120^o . По теореме косинусов
BL2 = AL2+AB2-2AL· AB cos 120^o = +a2+= ,

cos α = = = .
Пусть PQ – проекция отрезка MN на прямую BA1 , PQ= . Известно, что ортогональная проекция отрезка на прямую равна произведению длины отрезка на косинус угла между отрезком и этой прямой, поэтому PQ = MN· cos α , или
=· ,

= , = , 24h4-13a2h2+a4=0,
откуда h= или h= .

Ответ

, .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	9020