Задача 111409

Темы:    [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ] [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

В равнобочной трапеции ABCD угол при основании AD равен α , боковая сторона AB равна b . Окружность, касающаяся сторон AB и AD и проходящая через вершину C , пересекает стороны BC и CD в точках M и N соответственно. Найдите BM , если = 3 .

Решение

Пусть окружность касается сторон AD и AB трапеции ABCD в точках P и Q соответственно. По теореме о касательной и секущей

DP2 = DN· DC = b· b = b2, DP = .
Если продолжение радиуса OP пересекает меньшее основание BC трапеции в точке T , то T – середина MC (диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам). Пусть K , L и E – проекции точек соответсвенно C , M и B на основание AD . Тогда
LP = PK = PD-KD = -b cos α.
Обозначим EL=BM = x . По теореме о равенстве отрезков касательных, проведённых к окружности из одной точки
AQ = AP = AE+EL+LP = b cos α + x + (-b cos α) = x+.
По теореме о касательной и секущей
BQ2 = BM· BC = EL· EK = EL(EL+LK) = x(x+2LP)= x(x+b-2b cos α),
а т.к. AB = AQ+QB , то
b = x++.
Из этого уравнения находим, что x= .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4535