ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 111345
Темы:    [ Интеграл и площадь ]
[ Квадратные уравнения. Теорема Виета ]
Сложность: 3+
Классы: 11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Числа p и q таковы, что параболы  y = – 2x²  и  y = x² + px + q  пересекаются в двух точках, ограничивая некоторую фигуру.
Найдите уравнение вертикальной прямой, делящей площадь этой фигуры пополам.


Решение

Если  x1 < x2  – абсциссы точек пересечения данных парабол, то для каждого числа x0 из интервала  (x1, x2)  площадь части исходной фигуры, расположенной слева от вертикальной прямой  x = x0,  равна     то есть совпадает с площадью соответствующей части новой фигуры, ограниченной осью абсцисс и параболой  y = – 3x² – px – q.  Эта парабола пересекает ось x в точках x1, x2, а значит, симметрична относительно прямой  x = ½ (x1 + x2).  Следовательно, площадь новой фигуры (равно как и исходной) разделится пополам, когда  


Ответ

x = – p/6.

Замечания

Равенство площадей соответствующих частей исходной и новой фигуры можно обосновать и без использования интеграла, например, с помощью принципа Кавальери.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 71
Год 2008
вариант
Класс 11
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .