Даны две окружности S₁, S₂ и прямая l. Проведите прямую l₁, параллельную прямой l, так, чтобы:
а) расстояние между точками пересечения l₁ с окружностями S₁ и S₂ имело заданную величину a;
б) S₁ и S₂ высекали на l₁ равные хорды;
в) S₁ и S₂ высекали на l₁ хорды, сумма (или разность) длин которых имела бы заданную величину a.

   Решение

Дан угол ABC и прямая l. Постройте прямую, параллельную прямой l, на которой стороны угла ABC высекают отрезок данной длины a.

   Решение

Темы:    [ Инварианты ] [ Процессы и операции ]

Сложность: 3+ Классы: 6,7,8

Прислать комментарий

Условие

Василиса Премудрая решила запереть Кощея в прямом коридоре, разделенном тремя проходами на четыре комнаты, причем в каждом проходе, облокотившись на одну из стен, стоит толстый усталый стражник. Каждый раз, когда Кощей переходит из одной комнаты в другую, стражник переходит к противоположной стене и облокачивается на нее. Если все стражники облокотятся на одну стену, она не выдержит и рухнет, а Кощей выйдет на свободу. Может ли Василиса изначально так прислонить стражников и разместить Кощея, чтобы он никогда не смог выбраться?

Решение

Пусть, например, Василиса посадила Кощея в самую северную комнату, а стражников прислонила так: к западной "– к восточной "– к западной стене ("ЗВЗ"). Покажем, что как бы Кощей ни ходил, стражники никогда не будут прислоняться к одной стене. Заметим, что в любой момент выполняется следующее условие: стражники южнее Кощея остались в исходном положении, а положение стражников севернее Кощея изменилось. Действительно, это условие выполнено вначале и не нарушается при переходе Кощея из комнаты в комнату. Значит, если Кощей в какой-то момент оказался в самой северной комнате, то все стражники остались в положении "ЗВЗ". Если Кощей оказался во второй комнате, то первый (самый северный) стражник поменял положение, а два других остались в исходном положении, то есть стражники приняли положение "ВВЗ". Если же Кощей оказался в третьей комнате, то стражники приняли положение "ВЗЗ". Наконец, если Кощей оказался в самой южной комнате, то все стражники изменили свое положение, то есть приняли положение "ВЗВ". Значит, ни в какой момент все стражники не прислоняются к одной стене.

Ответ

да, может.

Источники и прецеденты использования