Задача 111283

Темы:    [ Сфера, вписанная в пирамиду ] [ Прямая призма ] [ Правильный тетраэдр ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Сфера вписана в правильную треугольную пирамиду SABC ( S – вершина), а также вписана в прямую треугольную призму KLMK1L1M1 , у которой KL=KM= , а боковое ребро KK1 лежит на прямой AB . Найдите радиус сферы, если известно, что прямая SC параллельна плоскости LL1M1M .

Решение

Через прямую, не имеющую со сферой общих точек, можно провести ровно две плоскости, касающиеся сферы, поэтому плоскости граней ABC и KMM1K1 совпадают, а также совпадают плоскости граней ASB и KLL1K1 . Центр O сферы, вписанной в правильную пирамиду лежит на её высоте (рис.1). Рассмотрим сечение пирамиды и призмы плоскостью, проходящей через высоту SH пирамиды и её боковое ребро SC . В этой плоскости лежит центр O сферы и середина K2 ребра AB . Плоскость сечения проведена через прямую SC , параллельную плоскости LL1M1M , значит, секущая плоскость пересекает плоскость LL1M1M по прямой, параллельной SC . Поэтому, если L2 и M2 – точки, в которых секущая плоскость пересекает боковые рёбра LL1 и MM1 призмы, то L2M2 || SC . При этом сечение сферы проведённой плоскостью – окружность, вписанная в треугольник K2L2M2 (рис.2), в котором K2L2=K2M2= , а т.к. L2M2 || SC , то SK2= CK2 . Высота SK2 равнобедренного треугольника ASB равна высоте CK2 равностороннего треугольника ABC , поэтому ABS – также равносторонний треугольник, а правильная пирамида SABC – правильный тетраэдр. Обозначим SK2C = β , AB = SC = a . Из прямоугольного треугольника SHK2 находим, что

tg β = = = 2.
Тогда
cos β = = = , sin β = , sin = = = ,

L2M2 = 2K2L2 sin = 2· =2.
Пусть r – радиус сферы вписанной в правильный тетраэдр SABC . Тогда r – радиус окружности вписанной в треугольник K2L2M2 . Следовательно,
r = = =

= = = -1.

Ответ

-1 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8918