Задача 111219

Темы:    [ Объем тетраэдра и пирамиды ] [ Конус ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Конус расположен внутри треугольной пирамиды SABC так, что плоскость его основания совпадает с плоскостью одной из граней пирамиды, а три других грани касаются его боковой поверхности. Найдите объём пирамиды, если длина образующей конуса равна 1, ABS = , BSC = , SCB = .

Решение

По формуле ctg = находим, что

ctg = = = 2+, ctg = 2-.
Из теоремы о трёх перпендикулярах следует, что общая образующая конуса и грани пирамиды является высотой этой грани, значит, основание конуса не может лежать в гранях ABC , BSC и ABS , т.к. в первых двух случаях высоты граней (т.е. образующие конуса) совпадают с рёбрами SB и AB соответственно, а в третьем – высота не лежит в грани, т.к. треугольник тупоугольный ( CBS = ), поэтому его высота, проведённая из вершины C , не лежит в грани SCB . Таким образом, основание конуса – круг, вписанный в треугольник ASC . Пусть O – центр этого круга, K , L и M – точки касания со сторонами AS , CS и AC соответственно, OK=OL=OM=r – радиус круга, p – полупериметр треугольника ASC , s – площадь. Из равенства треугольников BKS и BLS следует, что KSB = LSB = . Тогда
BAM = BAK = - ASB = - = .
Из прямоугольных треугольников BLC , BLS и AMB находим, что
LC = BL ctg SCB = BL ctg = 1· 1 = 1,

LS = BL ctg BSC = BL ctg = 1· (2+)= 2+,

AM = BM ctg BAM = BM ctg = 1· (2-)= 2-.
Тогда
SK=SL = 2+, AK=AM=2-, CM = CL = 1,

AC = AM+MC=3-, AS = AK+KS = 4, CS=CL+LS = 3+,

p=CL+SK+AM = 1+(2+)+(2-) = 5,

s = = = ,

r==.
Из прямоугольного треугольника BOK находим, что
BO = = = .
Следовательно,
V_SABC = s· BO = · · =.

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8901