Задача 111218

Темы:    [ Площадь и объем (задачи на экстремум) ] [ Производная и экстремумы ] [ Экстремальные свойства. Задачи на максимум и минимум. ] [ Формула Герона ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Основание пирамиды – квадрат. Высота пирамиды пересекает диагональ основания. Найдите наибольший объём такой пирамиды, если периметр диагонального сечения, содержащего высоту пирамиды, равен 5.

Решение

Лемма: Из всех треугольников с заданными основанием и периметром наибольшую площадь (а значит, и высоту) имеет равнобедренный.

Доказательство леммы: Пусть x , y и z – стороны треугольника, z – его заданная сторона, S – высота, p= – заданный полупериметр треугольника. По формуле Герона

S = = · = k,
где k= – фиксированная величина. Тогда
S =k k· = k· = kz,
причём равенство достигается, если p-x=p-y , т.е., если x=y , что и требовалось доказать.

Пусть основание пирамиды PABCD – квадрат ABCD со стороной a , основание H высоты PH пирамиды лежит на диагонали AC основания, а периметр диагонального сечения APC равен 5. Тогда объём пирамиды максимален, если максимальна её высота PH , а т.к. периметр треугольника равен 5, то по лемме максимальную высоту имеет равнобедренный треугольник, значит, при фиксированном a , наибольший объём имеет пирамида, у которой AP=CP = . Пусть V(a) – этот объём. Тогда

V(a) = AB2· PH = a2· = a2.
Найдём a при котором достигается наибольшее значение положительной функции f(a) = V2(a) = a4(5-2a) на луче (0; +) :
f'(a) = (4a3(5-2a) - 2a4) = a3(-a).
Лучу (0; +) принадлежит единственная критическая точка a= этой функции, причём при переходе через эту точку производная меняет знак с "+" на "-". Следовательно, a= – точка максимума. Тогда и функция V(a) принимает в этой точке наибольшее значение, которое равно
V()= · 2 = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8900