Задача 111205

Темы:    [ Площадь и объем (задачи на экстремум) ] [ Правильная пирамида ] [ Конус ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

В прямой круговой конус вписана правильная треугольная пирамида, апофема которой равна k , а боковая грань составляет с плоскостью основания угол, равный α . Через одно из боковых рёбер пирамиды проведена плоскость, пересекающая коническую поверхность. Найдите площадь сечения конуса этой плоскостью, если известно, что эта площадь имеет наибольшее из всех возможных значение.

Решение

Пусть SO – высота правильной пирамиды SABC с основанием ABC . Тогда SO – высота конуса, а боковые рёбра пирамиды – образующие конуса. Еcли M – середина ребра AB , то SM = k – апофема пирамиды, а OMS = α – величина линейного угла двугранного угла между боковой гранью и плоскостью основания. Учитывая, что OA = 2OM , из прямоугольных треугольников OMS и AOS находим, что

SO = SM sin α = k sin α, MO = SM cos α =k cos α,

tg OAS = = = tg α, ASO = - OAS,

SA= = = k.
Сечение конуса плоскостью, проходящей через его образующую, есть равнобедренный треугольник, боковые стороны которого равны k . Если угол при его вершине равен ϕ , а площадь треугольника равна S(ϕ) , то S(ϕ)=k2(1+3 cos2 α) sin ϕ . Таким образом, для нахождения наибольшего значения этой площади нужно найти наибольшее значение sin ϕ . Если угол при вершине осевого сечения меньше , то в силу возрастания функции sin ϕ на промежутке (0; ) , наибольшее значение sin ϕ достигается при наибольшем значении ϕ , т.е. если OAS < , или arctg( tg α) < . Это означает, что tg α < 2 . В этом случае
S_max = S()=SA2 sin = k2(1+3 cos2 α)· 1= k2(1+3 cos2 α).
Если же угол при вершине осевого сечения не меньше , а это имеет место при tg α 2 , то наибольшую площадь имеет осевое сечение:
S_max = OA· SO = 2OM· OS =k cos α· k sin α= k2 sin 2α.

Ответ

k2 sin 2α , если arctg 2 α < ; k2(1+3 cos2 α) , если 0<α < arctg 2 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8887