Задача 111157

Темы:    [ Касающиеся сферы ] [ Цилиндр ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Внутри цилиндра лежат два шара радиуса r и один шар радиуса так, что каждый шар касается двух других и боковой поверхности цилиндра, причем первые два равных шара касаются нижнего основания, а третий шар касается верхнего основания цилиндра. Найдите радиус основания цилиндра, если его высота равна 4r .

Решение

Через центры A и B шаров радиуса r проведём плоскость α , перпендикулярную оси цилиндра. Пусть C' – проекция на эту плоскость центра C шара радиуса r . Тогда

CC' = 4r - r - r = r, AC' = = = 2r.
Пусть радиус основания цилиндра равен R . В сечении цилиндра плоскостью α получится окружность радиуса R с центром O , две окружности радиусов r с центрами A и B , касающиеся между собой в некоторой точке E и окружности сечения, а также окружность радиуса r с центром C' , касающуюся окружности сечения внутренним образом в некоторой точке D , причём AB=r+r= 2r и AC'= BC' = 2r . Поскольку линия центров двух касающихся окружностей проходит через их точку касания, а также OA = OB = R-r и C'A = C'B= 2r , точки O , E , C' и D лежат на одной прямой, причём EO +OC' = C'E и C'E – высота равностороннего треугольника со стороной 2r . Тогда
OE = = = ,

C'E = = , OC' = OD-DC' = R-r.
Следовательно, получаем уравнение
+R-r=,
из которого находим, что
R= = r.

Ответ

r .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8779