ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 111125
Темы:    [ Куб ]
[ Правильный тетраэдр ]
Сложность: 3
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Покажите, что в кубе можно выбрать четыре вершины, являющиеся вершинами правильного тетраэдра, причём сделать это можно двумя способами.

Решение

Рассмотрим куб ABCDABCD₁ (AA₁ ∥ BB₁ ∥ CC₁ ∥ DD₁) с ребром a.
Все рёбра пирамид ACBD₁ и BDAC₁ равны 
a2
, поэтому эти
пирамиды являются правильными тетраэдрами.

Докажем, что никакая другая четвёрка вершин куба не может образовывать правильный тетраэдр. В самом деле, три вершины, принадлежащие одной грани куба не могут быть вершинами правильного тетраэдра, так как треугольник с вершинами в этих точках ─ прямоугольный. Остаётся случай, когда две вершины лежат в одной грани куба, а две другие ─ в противоположной. Если это, например, AB и B₁, C₁, то AB ≠ AC₁, а если AB и B₁, D₁, то AB ≠ BD₁. Остальное аналогично. Таким образом, возможны только случаи, когда две вершины тетраэдра являются концами диагонали грани куба, а две другие ─ концами скрещивающейся с ней диагонали противоположной грани.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 8306

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .