ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 111116
Темы:    [ Достроение тетраэдра до параллелепипеда ]
[ Теорема косинусов ]
Сложность: 4
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Пусть a и a1 , b и b1 , c и c1 – пары противоположных рёбер тетраэдра; α , β и γ соответственно – углы между ними ( α 90o , β 90o и γ 90o ). Докажите, что из трёх величин aa1 cos α , bb1 cos β и cc1 cos γ одна равна сумме двух других.

Решение

Пусть ABCD – тетраэдр, в котором

AB=a, CD=a1, BC=b, AD = b1, AC=c, BD=c1,

угол между прямыми AB и CD равен α , между прямыми BC и AD β , между прямыми AC и BD γ . Достроим тетраэдр ABCD до параллелепипеда AKBLNDMC ( AN || KD || BM || LC ), проведя через его противоположные рёбра пары параллельных плоскостей. Обозначим AK=x , BK=y , BM=z . Предположим, что x y z . Пусть O – точка пересечения диагоналей параллелограмма AKBL . Тогда KOB = α . По теореме косинусов
y2= + - 2· · cos α, x2= + + 2· · cos α.

поэтому x2-y2=aa1 cos α . Аналогично, x2-z2=bb1 cos β и y2-z2=cc1 cos γ . Следовательно,
cc1 cos γ +aa1 cos α = (y2-z2) + (x2-y2) = x2-z2 = bb1 cos β.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 7998

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .