Условие
Через противоположные рёбра
AB и
CD тетраэдра
ABCD проведены
две параллельные плоскости. Аналогично, две параллельные плоскости проведены
через рёбра
BC и
AD , а также – через рёбра
AC и
BD . Эти шесть
плоскостей задают параллелепипед.
Докажите, что если тетраэдр
ABCD – ортоцентрический (его высоты пересекаются
в одной точке), то все рёбра параллелепипеда равны;
а если тетраэдр
ABCD – равногранный (все его грани – равные между собой треугольники),
то параллелепипед – прямоугольный.
Решение
а) Известно, что противолежащие рёбра ортоцентрического тетраэдра
попарно перпендикулярны:
AB 
CD ,
AC BD и
AD BC .
Достроим тетраэдр
ABCD до параллелепипеда
AKBLNDMC
(
AN || KD || BM || LC ), проведя через
его противоположные рёбра пары параллельных плоскостей.
Так как
KL || CD , то
KL AB , поэтому параллелограмм
AKBL
– ромб, значит,
AK=KB=BL=AL . Аналогично,
AK=KD=DN=AN и
AL=LC=CN=AN .
Следовательно, все рёбра параллелепипеда
AKBLNDMC равны.
б) Известно, что противолежащие рёбра равногранного тетраэдра
попарно равны:
AB = CD ,
AC = BD и
AD = BC .
Достроим тетраэдр
ABCD до параллелепипеда
AKBLNDMC
(
AN || KD || BM || LC ), проведя через
его противоположные рёбра пары параллельных плоскостей.
Так как
KL = CD , то
KL = AB , поэтому параллелограмм
AKBL
– прямоугольник. Аналогично, остальные грани
параллелепипеда
AKBLNDMC – прямоугольники, т.е. параллелепипед –
прямоугольный.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
задача |
|
Номер |
7994 |
