Задача 111092

Темы:    [ Признаки и свойства касательной ] [ Теорема синусов ] [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

В трапеции ABCD с меньшим основанием BC и площадью, равной 2, прямые BC и AD касаются окружности диаметром в точках B и D соответственно. Боковые стороны трапеции AB и CD пересекают окружность в точках M и N соответственно. Длина MN равна 1. Найдите величину угла MBN и длину основания AD .

Решение

Пусть O – центр окружности. Тогда OM BC и OD AD , а т.к. BC || AD , то точки B , O и D лежат на одной прямой, поэтому BD – диаметр окружности. Обозначим, CBN = α , ABD = β . В прямоугольных треугольниках BCD и DAB катет BD – общий, а катет BC треугольника BCD по условию задачи меньше катета AD треугольника DAB , поэтому BDC < ABD , т.е. α < β . Точка N лежит на окружности с диаметром BD , поэтому BND = 90^o , значит, DBN = 90^o-α . Следовательно,

MBN = ABD + DBN = β + (90^o-α)= 90^o + (β - α) > 90^o.
По теореме синусов sin MBN = = , а т.к. MBN > 90^o , то MBN = 135^o . Обозначим BC = x , AD=y . По условию задачи S_ABCD = 2 , или · BD = 2 , · = 2 , откуда находим, что x+y = 2 . Пусть K – точка на продолжении основания BC за точку B . Тогда
BAD = ABK = 180^o- MBN - CBN = 180^o-135^o- α = 45^o-α.
Из прямоугольных треугольников BCD и DAB находим, что
tg α = = , tg (45^o-α) = = ,
а т.к.
tg (45^o-α) == = = ,
то из уравнения = , находим, что y= . Следовательно, BC=y= .

Ответ

, .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	5807