Задача 111078

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ] [ Формула Эйлера ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

В треугольнике ABC проведены биссектрисы AE и CD . Найдите длины отрезков CD , CE , DE и расстояние между центрами окружностей, вписанной в треугольник ABC и описанной около треугольника ABC , если AC=2 , BC=4 , ACB = arccos .

Решение

Обозначим ACB = γ , ABC = β . По условию задачи cos γ = . Тогда

sin γ = = = .

По теореме косинусов
AB = = = =3.
По свойству биссектрисы треугольника
= ==, = =,
поэтому
AD = AB=1, BD=AB=2, CE = BC = · 4=, BE=.
По формуле для биссектрисы треугольника
CD = == .

Пусть R — радиус описанной окружности треугольника ABC . По теореме синусов
R=== , sin β = == .
Тогда cos β = . Из треугольника BDE по теореме косинусов находим, что
DE== = .

Пусть r — радиус вписанной окружности треугольника ABC , p — полупериметр треугольника, S — площадь. Тогда
p==, S=AC· BC sin γ = · 2· 4· = .
Следовательно,
r=== .

Пусть вписанная окружность с центром Q касается стороны AC треугольника ABC в точке M , а N — середина этой стороны. Тогда
CM=p-AB=-3=, MN=|CM-CN|=-1=.
По теореме Пифагора
ON = = = = .

Искомый отрезок OQ есть большая боковая сторона прямоугольной трапеции MNOQ с основаниями MQ и ON . Пусть F — основание перпендикуляра, опущенного из точки Q на ON . Тогда
OF = ON-FN = ON-QM = - = , QF=MN =.
Следовательно,
ρ= OQ = = = 2.

Указание. Для нахождения расстояния между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника можно воспользоваться формулой Эйлера:
ρ = .

Ответ

CD= , CE= , DE= , ρ = 2 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	5763