Задача 111069

Темы:    [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Теорема синусов ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

В треугольнике ABC угол C – прямой, тангенс угла A равен , медиана BD равна . Найдите площадь треугольника ABD и радиус окружности, описанной около треугольника ABD .

Решение

Обозначим BC = x , BAC = α . Тогда

AC = = = 4x.
Применяя теорему Пифагора к треугольнику BCD , получим, что
BD2 = BC2+CD2, илиx2+4x2 = 5,
откуда x=1 . Поскольку медиана треугольника разбивает его на два равновеликих треугольника,
S_{Δ ABD} = S_{Δ ABC} = · BC· AC =· 1· 4 = 1.
Поскольку tg α = , то
cos2 α = = = , sin2 α = .
Если R – радиус окружности, описанной около треугольника ABD , то
R= = = .

Ответ

S_{Δ ABD} = 1 ; R= .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4424