ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 110993
Темы:    [ Ортогональное проектирование ]
[ Перпендикулярные плоскости ]
[ Правильная пирамида ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна a , апофема пирамиды равна a . Ортогональной проекцией пирамиды на плоскость, перпендикулярную одной из боковых граней, является равнобедренная трапеция. Найдите площадь этой трапеции.

Решение

Пусть M и N – середины сторон соответственно BC и AD основания ABCD правильной четырёхугольной пирамиды PABCD (рис.1). Тогда BC=a , PM=a . Из точки N опустим перпендикуляр AE на апофему PM . Тогда прямая NE перпендикулярна плоскости грани PBC , т.к. эта прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым PM и BC этой плоскости. Любая плоскость γ , проходящая через прямую NE , перпендикулярна плоскости грани PBC . Пусть ортогональная проекция пирамиды на плоскость γ является равнобедренной трапецией. При параллельном проектировании параллельные прямые AD и BC переходят в параллельные прямые, значит, если A' , B' , C' и D' – ортогональные проекции точек A , B , C и D соответственно, то точки A' и D' лежат на одном основании трапеции, а точки B' и C' – на другом. Проекция P' вершины P пирамиды лежит либо на прямой B'C' , либо на прямой A'D' , причём один из отрезков B'C' или A'D' является основанием трапеции, а точка P' лежит на продолжении другого (в противном случае проекция пирамиды была бы параллелограммом). Предположим, что P' лежит на продолжении основания B'C' за точку C' (рис.3). Поскольку плоскости γ и PBC перпендикулярны, прямая B'P' лежит в плоскости PBC . При этом B'P' – основание трапеции. Обозначим BPM = CPM = ϕ (рис.2). Из прямоугольного треугольника CMP находим, что

PC = = = , sin ϕ = = = .

Пусть PH – высота пирамиды. Обозначим PMH = β . Из прямоугольного треугольника MPN находим, что
cos β = = = , NE = AM sin β = .

Тогда
ME = MN cos β = a· = , PE = PM-ME = a- = a.

Прямая NE , лежащая в плоскости γ перпендикулярна наклонной AD к этой плоскости, поэтому по теореме о трёх перпендикулярах отрезок NE перпендикулярен основанию A'D' трапеции A'D'P'C' , а т.к. N – середина AD (а значит, и середина A'D' ), то NE – серединный перпендикуляр к основанию A'D' равнобедренной трапеции A'D'P'C' . Следовательно, NE – серединный перпендикуляр и к основанию B'P' этой трапеции. Поскольку B'P' – ортогональная проекция отрезка BP на плоскость γ , середина E его проекции B'P' на эту плоскость есть проекция середины K отрезка BP . Пусть прямые B'C' и BC пересекаются в точке F . Обозначим P'FC = α . Тогда PEK = EPP' = P'FC = α . По торемам косинусов и синусов из треугольника PKE находим, что
KE = =


== ,


sin α = = = .

Тогда
cos α = , A'D' = AD cos α = .

Заметим, что прямые B'P' и BP пересекаются под углом β - α . Тогда
B'P' = BP cos (β - α) = ( cos β cos α - sin β sin α)=


= (· - · ) = · = .

Следовательно,
SA'D'P'C' = (A'D'+C'P')NE = (+)· = .


Ответ

a2 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 8865

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .