Условие
Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна
a ,
апофема пирамиды равна
a . Ортогональной проекцией
пирамиды на плоскость, перпендикулярную одной из боковых граней,
является равнобедренная трапеция. Найдите площадь этой трапеции.
Решение
Пусть
M и
N – середины сторон соответственно
BC и
AD основания
ABCD правильной четырёхугольной пирамиды
PABCD (рис.1). Тогда
BC=a ,
PM=a . Из точки
N опустим перпендикуляр
AE на апофему
PM . Тогда прямая
NE перпендикулярна плоскости грани
PBC , т.к. эта
прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым
PM и
BC этой
плоскости. Любая плоскость
γ , проходящая через прямую
NE ,
перпендикулярна плоскости грани
PBC .
Пусть ортогональная проекция пирамиды на плоскость
γ является
равнобедренной трапецией. При параллельном проектировании параллельные
прямые
AD и
BC переходят в параллельные прямые, значит, если
A' ,
B' ,
C' и
D' – ортогональные проекции точек
A ,
B ,
C и
D соответственно, то точки
A' и
D' лежат на одном основании
трапеции, а точки
B' и
C' – на другом. Проекция
P'
вершины
P пирамиды лежит либо на прямой
B'C' , либо
на прямой
A'D' , причём один из отрезков
B'C' или
A'D' является
основанием трапеции, а точка
P' лежит на продолжении другого
(в противном случае проекция пирамиды была бы параллелограммом).
Предположим, что
P' лежит на продолжении основания
B'C' за точку
C' (рис.3).
Поскольку плоскости
γ и
PBC перпендикулярны, прямая
B'P' лежит в
плоскости
PBC . При этом
B'P' – основание трапеции.
Обозначим
BPM = CPM = ϕ (рис.2). Из прямоугольного треугольника
CMP находим, что
PC = 
= 
=
,
sin ϕ = 
= 
=
.
Пусть
PH – высота пирамиды. Обозначим
PMH = β . Из прямоугольного
треугольника
MPN находим,
что
cos β = 
= 
= 
,
NE = AM sin β = 
.
Тогда
ME = MN cos β = a· = 
,
PE = PM-ME = a- = 
a.
Прямая
NE , лежащая в плоскости
γ перпендикулярна наклонной
AD к этой
плоскости, поэтому по теореме о трёх перпендикулярах отрезок
NE перпендикулярен
основанию
A'D' трапеции
A'D'P'C' , а т.к.
N – середина
AD (а значит, и середина
A'D' ), то
NE – серединный перпендикуляр к основанию
A'D' равнобедренной трапеции
A'D'P'C' . Следовательно,
NE – серединный перпендикуляр и к основанию
B'P'
этой трапеции. Поскольку
B'P' – ортогональная проекция отрезка
BP на плоскость
γ ,
середина
E его проекции
B'P' на эту плоскость есть проекция середины
K отрезка
BP .
Пусть прямые
B'C' и
BC пересекаются в точке
F . Обозначим
P'FC = α .
Тогда
PEK = EPP' = P'FC = α . По торемам косинусов и синусов
из треугольника
PKE находим, что
KE = 
=
=
=
,
sin α = 
=
=
.
Тогда
cos α = 
, A'D' = AD cos α = 
.
Заметим, что прямые
B'P' и
BP пересекаются под углом
β - α . Тогда
B'P' = BP cos (β - α) = ( cos β cos α - sin β sin α)=
= (· -
· ) = · 
=
.
Следовательно,
SA'D'P'C' = 
(A'D'+C'P')NE =
(+)· =
.
Ответ
a2
.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
задача |
|
Номер |
8865 |
