Задача 110900

Темы:    [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Признаки и свойства касательной ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Точки M и N являются серединами боковых сторон AC и CB равнобедренного треугольника ACB. Точка L расположена на медиане BM так, что
BL : BM = 4 : 9.  Окружность с центром в точке L касается прямой MN и пересекает прямую AB в точках Q и T. Найдите периметр треугольника MNC, если  QT = 2,  AB = 8.

Решение

  Пусть P – точка касания окружности с прямой MN, а F – проекция центра L окружности на прямую AB. Тогда точки P, L и F лежат на одной прямой, а F – середина QT. Значит,  FQ = FT = 1.  По теореме о средней линии треугольника  MN = ½ AB = 4  и  MN || AB.  Обозначим  LP = LQ = LT = R.  Предположим, что точка Q лежит между A и T. Из подобия треугольников LFB и LPM находим, что  LF = ^LB/_LM·LP = ^4R/₅. По теореме Пифагора
LQ² = LF² + FQ²,  или  R² = ¹⁶/₂₅ R² + 1,  откуда  R = ⁵/₃,  PF = LP + LF = ^9R/₅ = 3.
  Пусть H – проекция точки M на прямую AB. Тогда  AH = ½ (AB – MN) = 2,  MH = PF = 3.
  Из прямоугольного треугольника AMH находим, что  AM² = AH² + MH² = 13.  Следовательно,  CN = CM = AM =  ,   а периметр треугольника MNC равен  

Ответ

2(2 + ).

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	5872