Задача 110847

Темы:    [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Вспомогательная окружность ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Окружность касается сторон AC и BC треугольника ABC в точках A и B соответственно. На дуге этой окружности, лежащей внутри треугольника, расположена точка K так, что расстояния от неё до сторон AC и BC равны 6 и 24 соответственно. Найдите расстояние от точки K до стороны AB.

Решение

  Пусть M, H и N – основания перпендикуляров, опущенных из точки K на AC, AB и BC соответственно. Точки M и H лежат на окружности с диаметром AK. Из теоремы об угле между касательной и хордой  ∠KMH = ∠KAH = ∠KAB = ∠KBN.
  Точки N и H лежат на окружности с диаметром BK, поэтому  ∠KHN = ∠KBN = ∠KMH.
  Аналогично  ∠KHM = ∠KNH,  значит, треугольники KMH и KHN подобны по двум углам. Следовательно,  KH : KN = KM : KH,  откуда
KH² = KN·KM = 144.

Ответ

12.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	5800