Задача 110822

Темы:    [ Параллелограммы ] [ Теорема о сумме квадратов диагоналей ] [ Теорема косинусов ] [ Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

В параллелограмме ABCD прямые l1 и l2 являются биссектрисами углов A и C соответственно, а прямые m1 и m2 – биссектрисами углов B и D соответственно. Расстояние между l1 и l2 в раз меньше расстояния между m1 и m2 . Найдите угол BAD и радиус окружности, вписанной в треугольник ABD , если AC= , BD=2 .

Решение

Пусть прямая l1 пересекает прямые m1 и m2 в точках K и N соответственно, а прямая l2 пересекает m1 и m2 сответственно в точках L и M . Тогда четырёхугольник KLMN – прямоугольник, т.к. углы между биссектрисами внутренних односторонних углов при параллельных прямых и секущей – прямые. Из прямоугольного треугольника KML находим, что tg KML = = , следовательно, KML = 30^o . Пусть прямые l1 и BC пересекаются в точке P , а прямые l2 и AD – в точке Q . Тогда треугольник ABP – равнобедренный, т.к. его биссектриса BK является высотой. Значит, K – середина стороны AP параллелограмма APCQ . Аналогично, M – середина стороны CQ параллелограмма APCQ , значит, KM || BC , поэтому PCQ = KML = 30^o , а BAD = BCD = 2 PCQ = 60^o . Обозначим, AB=a , BC=b . По теореме косинусов из треугольника ABD находим, что BD2= AB2+AD2-2AB· AD cos 60^o , или 4=a2+b2-ab . С другой стороны, по теореме о сумме квадратов диагоналей параллелограмма 2AB2+2BC2 = AC2+BD2 , или 2a2+2b2 = +4 = . Из системы

находим, что ab= . Тогда
a2+b2 = (a+b)2-2ab = ab+4, (a+b)2 = 3ab+4 = 5+4=9, a+b=3.
Пусть r – радиус окружности, вписанной в треугольник ABD . Тогда
r= = = = .

Ответ

, .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	5775