Задача 110816

Темы:    [ Теорема синусов ] [ Теорема о сумме квадратов диагоналей ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Найдите стороны паралелограмма ABCD , в котором радиусы окружностей, описанных около треугольников ABC и ABD , равны 5 и соответственно, а расстояние между центрами этих окружностей равно 2.

Решение

Пусть O – центр параллелограмма ABCD , O1 и O2 – центры описанных окружностей треугольников ABC и ABD соответственно, а прямая O1O2 пересекает отрезок AB в точке E . Поскольку AB – общая хорда окружностей, точка E – середина AB и O1O2 AB . Пусть AB = 2x , BC=2y , ACB = CAD = α , ADB = DBC = β . Тогда AO1=5 , AO2= , AE=BE=x . Из прямоугольных треугольников AO1E и AO2E находим, что O1E = и O2E = . Поскольку O1O2 = O1E-O2E , получим уравнение

- = 2,
из которого находим, что x=3 . Следовательно, AB=2x=6 . По теореме синусов из треугольников ABC и ABD находим, что
sin α = = , sin β = = .
Тогда cos α = , cos β = ,
sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β = · + · = .
По теореме синусов из треугольника BOC находим, что
BO = BC· = = y, CO = BC· = = y,
Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон, т.е. (2BO)2+(2CO)2 = 2AB2+2BC2 , или
4(y)2+4(y)2= 2· 36 + 2· 4y2,
откуда y2 = . Следовательно,
BC = 2y = = 9.

Ответ

AB=6 , AD = 9 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	5759