|
|
 |
Условие
Окружность C1 радиуса 2 с центром O1 и окружность C2 радиуса
с центром O2 расположены так, что O1O2 =
. Прямая l1 касается окружностей в точках A1 и A2, а прямая l2 – в точках B1 и B2. Окружности C1 и C2 лежат по одну сторону от прямой l1 и по разные стороны от прямой l2, A1, B1 ∈ C1, A2, B2 ∈ C2, точки A1 и B1 лежат по разные стороны от прямой O1O2. Через точку B2 проведена прямая l3, перпендикулярная прямой l2. Прямая l1 пересекает прямую l2 в точке A, а прямую l3 – в точке B. Найдите A1A2, B1B2 и стороны треугольника ABB2.
Решение
Пусть E – основание перпендикуляра, опущенного из точки O2 на радиус O1A1. Тогда EA1A2O2 – прямоугольник, EO1 = O1A1 – A1E = .
Из прямоугольного треугольника O1EO2 находим, что O2E = = 8.
Следовательно, A1A2 = O2E = 8. Пусть F – основание перпендикуляра, опущенного из точки O2 на продолжение радиуса O1B1. Тогда FB1B2O2 – прямоугольник, FO1 = O1B1 + B1F = 3, O2F =
= 4.
Следовательно, B1B2 = O2F = 4. Поскольку O2B2 ⊥ l2, а прямая l3 перпендикулярна l2 и проходит через точку B2, точки O2, B2 и B лежат на одной прямой. Обозначим BB2 = a, AB2 = b (катеты прямоугольного треугольника AB2B), AB = c (гипотенуза). Из равенства отрезков касательных, проведённых к окружности из одной точки, следует, что
AA2 = AB2 = b, AA1 = AB1 = AB2 = B1B2 = b + 4, AA1 = AB1 = A1A2 – AA2 = 8 – b.
Из уравнения b + 4 = 8 – b находим, что b = 2. Прямоугольные треугольники ABB2 и O2BA2 подобны по двум углам (угол при
вершине B – общий), причём коэффициент подобия равен =
=
. Значит, a = BB2 =
A2B =
(c + 2). Из системы a² + 2² = c², a =
(c + 2),
находим, что
c = 10, a = 4 .
Ответ
A1A2 = 8, B1B2 = 4, AB2 = 2, AB = 10, BB2 = 4 .
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 5751 |
