Задача 110800

Темы:    [ Описанные четырехугольники ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

В треугольнике ABC проведена высота CC1 . Точки P и Q – проекции точки C1 на стороны AC и BC соответственно. Известно, что в четырёхугольник CPC1Q можно вписать окружность. Докажите, что треугольник ABC – равнобедренный.

Решение

Обозначим CP=x , CQ=y , C1Q=z , C1P=t . Тогда

Если x y , то x+y+z+t = 0 , что невозможно. Значит, x=y . Тогда t=z , поэтому высота CC1 треугольника ABC является его биссектрисой. Следовательно, этот треугольник равнобедренный.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	5714