Задача 110797

Темы:    [ Длины сторон, высот, медиан и биссектрис ] [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Дан треугольник ABC , в котором AB=BC=5 , медиана AD= . На биссектрисе CE выбрана точка F такая, что CF=CE . Через точку F проведена прямая l , параллельная BC . Найдите расстояние от центра окружности, описанной около треугольника ABC , до прямой l .

Решение

Треугольник ABC равнобедренный, поэтому центр его описанной окружности лежит на высоте BH . По формуле для медианы треугольника 4AD2 = 2AB2+2AC2-BC2 , или 97 = 50+2AC2-25 , откуда находим, что AC=6 . Тогда AH=CH=3 . Обозначим CAB = ACB = α . Тогда

cos α = = , sin α= , ctg α = , cos = = , sin = .
По формуле для биссектрисы треугольника
CE = = = .
Тогда CF = CE = . Проекция центра O описанной окружности треугольника ABC на сторону BC – середина D стороны BC . Из прямоугольного треугольника ODB находим, что
OD = BD ctg BOD = BD ctg ACB = BC ctg α = · = .
Пусть N – проекция точки F на сторону BC , а K – точка пересечения прямых l и OD . Из прямоугольного треугольника CNF находим, что
FN =CF sin BCE = CF sin = · = .
Следовательно,
OK = OD-KD = OD-FN = - = .

Ответ

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	5811