ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 110772
Темы:    [ Неравенство Коши ]
[ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ]
[ Алгебраические неравенства (прочее) ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Определите наименьшее действительное число M, при котором неравенство   |ab(a² – b²) + bc(b² – c²) + ca(c² – a²)| ≤ M(a² + b² + c²)²   выполняется для любых действительных чисел a, b, c.


Решение

  Левая часть обращается в ноль при  a = b,  значит, она делится на  a – b.  Аналогично она делится на  a – c  и на  b – c.  Теперь из симметрии ясно, что  ab(a² – b²) + bc(b² – c²) + ca(c² – a²) = α(a – b)(a – c)(b – c)(a + b + c).  Сравнивая коэффициенты при a³, находим  α = 1.  Таким образом, задачу можно переформулировать так:
    найти наименьшее M, при котором выполнено неравенство   |(a – b)(a – c)(b – c)(a + b + c)| ≤ M(a² + b² + c²)².   (*)
  В силу симметрии без ограничения общности можно считать, что  a ≤ b ≤ c.  Обозначим  c – a = 2t,  |a + b + c| = 3s.
  Имеем  (b – a)(c – b) ≤ ¼ ((b – a) + (c – b))² = t²,  ((b – a)² + (c – b)²) ≥ ½ ((b – a) + (c – b))² = 2t².  Отсюда

     

         

  Итак, неравенство (*) выполняется для     При этом можно достичь равенства, если все неравенства в оценках превратить в равенства (то есть, если  b – a = c – b = t  и  2t² = 9s²).  Это произойдёт, например, при     Значит, уменьшить M нельзя.


Ответ

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Международная Математическая Олимпиада
Год
Год 2006
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .