ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 110765
Темы:    [ Теорема синусов ]
[ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На основании AD и боковой стороне AB равнобедренной трапеции ABCD взяты точки E, F соответственно так, что CDEF – также равнобедренная трапеция. Докажите, что  AE·ED = AF·FB.


Решение 1

Из условия следует, что  ∠DCF = ∠CDA = ∠DAB = ∠FEA  (см. рис.). Следовательно,  ∠ BCF = ∠AFE  и
BF : ED = BF : FC = sin∠BCF : sin∠CFB = sin∠AFE : sin∠FNA = AE : AF,  что и требовалось.


Решение 2

Пусть прямая EF пересекает BC в точке K. Тогда  ∠FKC = ∠FEA = ∠CDA = ∠BAD = ∠KFC,  поэтому равнобедренные треугольники CFK и FAE подобны, и  CF : AF = FK : AE = FB : AE.  Отсюда  DE·AE = CF·AE = FB·AF.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2007
Класс
Класс 9
задача
Номер 92

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .