|
|
 |
Условие
Диагонали выпуклого четырёхугольника делят его на четыре подобных треугольника. Докажите, что его можно разрезать на два равных треугольника.
Решение
Пусть O – точка пересечения диагоналей четырёхугольника ABCD. Если, например, угол AOB тупой, то он больше любого из углов треугольника BOC, то есть треугольники AOB и BOC не могут быть подобны. Следовательно, диагонали четырёхугольника перпендикулярны.
Из подобия прямоугольных треугольников AOB и BOC следует, что угол OAB равен либо углу OCB, либо углу OBC. В первом случае диагональ BD является серединным перпендикуляром к AC, то есть осью симметрии четырёхугольника и, значит, разрезает его на два равных треугольника. Во втором случае угол B прямой.
Рассуждая аналогично, получаем, что если ни одна из диагоналей не
является осью симметрии четырёхугольника, то все его углы прямые, а так как диагонали перпендикулярны, то четырёхугольник – квадрат. Но диагональ квадрата является его осью симметрии. Противоречие.
