Задача 110746
|
|
 |
Условие
Вершины прямоугольника лежат на боковой поверхности конуса. Докажите, что две параллельные стороны прямоугольника перпендикулярны оси конуса.Решение
Пусть ABCD – прямоугольник, вершины которого лежат на боковой поверхности конуса с вершиной S (рис.1). ТогдаДокажем, что
Действительно, пусть плоскость, проведённая через центр O прямоугольника перпендикулярно оси конуса, пересекает лучи SA , SC , SB и SD в точках A' , C' , B' и D' соответственно (для определённости будем считать, что точка C' лежит на отрезке SC ). Треугольники SA'C' и SB'D' – равнобедренные, т.к. SA' , SC' , SB' и SD' – образующие конуса, отсекаемого от данного конуса проведённой плоскостью. Через точку C проведём прямую, параллельную стороне SA (рис.2). Обозначим через C'' точку пересечения этой прямой с продолжением основания A'C' . Так как треугольники OCC'' и OAA' равны (по стороне и двум прилежащим к ней углам), а треугольник CC'C'' – также равнобедренный, то CC'=CC''= AA' . Значит,
Аналогично, SB+SD = SB'+SD' , а т.к. SB'+SD'=SA'+SC' , то утверждение доказано. Вернёмся к нашей задаче. Из равенств SA2+SC2=SB2+SD2 и SA+SC=SB+SD следует, что либо SA=SB и SC=SD , либо SA=SD и SC=SB . В первом случае оси конуса перпендикулярна сторона AB , а во втором – сторона AD . (Решение предложено Ильёй Осиповым).
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 8099 |
