Задача 110576

Темы:    [ Куб ] [ Сфера, касающаяся ребер угла ] [ Касательные к сферам ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 1. Найдите радиус сферы, касающейся: а) рёбер BA , BB1 , BC и плоскости A1DC1 ; б) рёбер BA , BB1 , BC и прямой DA1 .

Решение

а) Центр O сферы радиуса r , касающейся рёбер BA , BB1 и BC , лежит на луче BD1 (рис.1). Известно, что диагональ BD1 куба ABCDA1B1C1D1 перпендикулярна плоскости A1DC1 , проходит через точку M пересечения медиан треугольника A1DC1 и делится этой точкой в отношении 2:1 , считая от вершины B , поэтому OM = r и BM = BD1 = . Рассмотрим сечение куба плоскостью BB1D1D (рис.2). Получим прямоугольник BB1D1D со сторонами BB1=1 , BD= и диагональю BD1 = , окружность радиуса r с центром O на диагонали BD1 , касающуюся в точке M отрезка DK , соединяющего точку D с серединой K стороны B1D1 , а также касающуюся луча BB1 в некоторой точке L . Обозначим B1BD1 = α . Тогда

sin α = = , OB = = r.
Заметим, что точка O луча BD1 лежит на отрезке BM , а не на его продолжении, т.к. иначе сфера касалась бы не рёбер BA , BB1 и BC , а их продолжений. Следовательно,
OM+OB = MB, илиr+r = ,
откуда находим, что r= . б) Пусть Q – центр сферы радиуса R , касающейся рёбер BA , BB1 , BC и прямой DA1 (рис.1). Точка Q также лежит на луче BD1 . Рассмотрим сечение куба и сферы плоскостью A1DC1 . Получим равносторонний треугольник A1DC1 со стороной и окружность с центром в точке M , вписанную в этот треугольник. Если N – точка касания окружности со стороной DA1 , то MN = = – радиус этой окружности. Обозначим QM = x . Заметим, что точка Q лежит на отрезке BM , а не его продолжении. Из прямоугольного треугольника QMN находим, что
R = QN = = .
С другой стороны, если сфера касается ребра BB1 в точке P , то QP = R и из прямоугольного треугольника QPB находим, что
R=QP = QB sin α = (BM-QM) sin α = (-x)· .
Из уравнения
=(-x)·
находим, что x= . Следовательно,
R=(-x)· = ( - )· =2-.

Ответ

; 2- .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8795