ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 110495
Темы:    [ Построения на проекционном чертеже ]
[ Построение сечений ]
[ Площадь и ортогональная проекция ]
Сложность: 4
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Найдите площадь сечения правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 плоскостью, проходящей через вершину C и середину стороны B1C1 основания A1B1C1 и параллельной диагонали AC1 боковой грани AA1C1C , если расстояние между прямой AC1 и секущей плоскостью равно 1, а сторона основания призмы равна .

Решение

Обозначим через a сторону основания призмы ( a= ). Плоскость боковой грани AA1C1C проходит через прямую AC1 , параллельную секущей плоскости, и имеет с ней общую точку C , поэтому прямая l пересечения этих плоскостей параллельна прямой AC1 . Пусть прямая l пересекается с прямыми A1C1 и AA1 в точках P и Q соответственно. Тогда C1P = AC=A1C1= a как противоположные стороны параллелограмма ACPC1 . Аналогично AQ=CC1=AA1 . Значит, AC1 – средняя линия треугольника PA1Q . Пусть M – середина B1C1 , а прямая PM пересекает ребро A1B1 в точке N . Через вершину B1 проведём прямую, параллельную A1C1 , и продолжим PM до пересечения с этой прямой в точке T . Из равенства треугольников TMB1 и PMC1 следует, что TB1=PC1=a , а из подобия треугольников TNB1 и PNA1 = = . Пусть прямая NQ пересекает ребро AB в точке L . Тогда AL – средняя линия треугольника NQA1 , поэтому

AL = A1N = · A1B1 = A1B1 = AB,

а сечение призмы данной плоскостью – трапеция MNLC . Найдём площадь ортогональной проекции сечения на плоскость основания ABC . Пусть N' и M' – проекции точек N и M на эту плоскость. Тогда M' – середина BC , а точка N' такова, что = , значит,
S' = SLN'M'C = SΔ BLC - SΔ BN'M' = SΔ ABC- · SΔ ABC =


=SΔ ABC-· SΔ ABC = SΔ ABC = = .

Пусть K – основание перпендикуляра, опущенного из точки C1 на прямую MP . Тогда по теореме о трёх перпендикулярах CK PM , причём прямая CK лежит в секущей плоскости, поэтому CKC1 – линейный угол двугранного угла между секущей плоскостью и плоскостью основания призмы. Обозначим CKC1 = ϕ . Из треугольника MC1P по теореме косинусов находим, что
MP = = = .

Записав площадь треугольника MC1P двумя способами, получим, что
C1K = = = .

Если C1H – высота прямоугольного треугольника CC1K , то расстояние между прямой AC1 и секущей плоскостью равно длине отрезка C1H , т.е. C1H=1 . Из прямоугольного треугольника CC1K находим, что
sin ϕ = = = , cos ϕ = .

Следовательно, если S – искомая площадь сечения, то
S = = =.


Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 8692

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .