Задача 110486

Темы:    [ Куб ] [ Сфера, описанная около тетраэдра ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Сфера радиуса проходит через вершины B , C , C1 и через середину ребра A1D1 куба ABCDA1B1C1D1 ( AA1 || BB1 || CC1 || DD1 ). Найдите площадь поверхности куба.

Решение

Пусть M – середина ребра A1D1 . Центр O сферы равноудалён от концов отрезка BC , значит, точка O лежит в плоскости, перпендикулярной ребру BC и проходящей через его середину. Аналогично, точка O лежит в плоскости, перпендикулярной ребру CC1 и проходящей через середину CC1 . Эти две плоскости пересекаются по прямой, проходящей через центры P и Q граней AA1D1D и BB1C1C соответственно. Точка O равноудалена от концов отрезка MC1 , значит, точка O лежит в плоскости, перпендикулярной отрезку MC1 и проходящей через его середину E . Эта плоскость пересекает прямую PQ в точке, равноудалённой от точек B , C , C1 и M , т.е. в точке O . Рассмотрим ортогональную проекцию куба на плоскость, проходящую через прямую PQ , параллельно грани ABCD . Пусть A' , B' , C' и D' проекции на эту плоскость вершин A , B , C и D соответственно, E' – проекция точки E . Обозначим через x ребро куба, через R – радиус сферы. Из прямоугольных треугольников PQC' , POE' и POM находим, что

PC' = = = , PE' = PC'= ,

tg QPC'= = , cos QPC' = = ,

PO = = = x,

41 = R2 = OM2 = PO2+PM2 = x2 + = x2,
откуда x2 = 64 . Следовательно, полная поверхность куба равна 6x2 = 384 .

Ответ

384.00

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8682