Задача 110457

Темы:    [ Касающиеся сферы ] [ Правильная пирамида ] [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

В правильную треугольную пирамиду с высотой h= и стороной основания a= вложены пять шаров одинакового радиуса. Один из шаров касается основания пирамиды в его центре. Каждый из трёх других шаров касается своей боковой грани, причём точка касания лежит на апофеме и делит её в отношении 1:2, считая от вершины. Пятый шар касается всех четырёх шаров. Найдите радиус шаров.

Решение

Пусть SABC – правильная пирамида с вершиной S , SH – её высота, O1 – центр первого шара, O – центр пятого шара, O2 – центр шара, касающегося грани ABC в точке E , лежащей на апофеме SD . Тогда

HD = = = ,

SD = = = ,

AE = · SD = · = = HD.
Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью SDH . Из равенства прямоугольных треугольников DHO1 и DEO2 (по двум катетам) следует равенство треугольников DOO2 и DOO1 (по трём сторонам), значит,
SDO = EDO2+ O2DO = HDO1+ O1DO = HDO,
т.е. DO – биссектриса треугольника SDH . По свойству биссектрисы треугольника
= = = ,
поэтому
OH=SH = · = .
Пусть R – радиус шаров. Тогда OH = 3R . Из уравнения 3R= находим, что R= .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8653