Задача 110437

Темы:    [ Правильная пирамида ] [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ] [ Теорема косинусов ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Дана правильная треугольная пирамида SABC . Точка S – вершина пирамиды, AB = 1 , AS = 2 , BM – медиана треугольника ABC , AD – биссектриса треугольника SAB . Найдите длину отрезка DM .

Решение

Биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам, поэтому = . Значит,

BD = BS = AS = .
Пусть SH – высота пирамиды. Обозначим SBH = SAH = α . Из прямоугольного треугольника SBH находим, что
cos α = = = = .
По теореме косинусов
DM = =

== = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8623