Задача 110428

Темы:    [ Правильная пирамида ] [ Двугранный угол ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S проведена высота SD . На отрезке SD взята точка K так, что SK:KD = 1:2 . Известно, что двугранные углы между основанием и боковыми гранями равны , а расстояние от точки K до бокового ребра равно . Найдите объём пирамиды.

Решение

Пусть M – середина AB , L и N – основания перпендикуляров, опущенных из точек соответственно K и D на боковое ребро SC . Треугольник SDN подобен треугольнику SKL с коэффициентом = 3 . Поэтому

DN = KL· = 3KL = .
Обозначим AB=BC=AC = a , SCD = α (угол бокового ребра с плоскостью основания). Из прямоугольных треугольников SDM , SCD и DNC находим, что
SD = MD tg SMD = · tg 30^o = ,

ctg α = ctg SCD = = = 2,

sin α = = ,

= DN = CD sin α = · .
Отсюда находим, что a=12 . Следовательно,
V_SABC = S_{Δ ABC}· SD = · · = a3 = · (12)3 = 216.

Ответ

216.00

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8614