Задача 110391

Темы:    [ Прямоугольные параллелепипеды ] [ Объем тетраэдра и пирамиды ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Пусть ABCDA1B1C1D1 – единичный куб. Найдите объём общей части треугольных пирамид ACB1D1 и A1C1BD .

Решение

Пирамиды ACB1D1 и A1C1BD – правильные тетраэдры с ребром . Их общая часть – многогранник, все вершины которого совпадают с центрами граней куба, а все грани – правильные треугольники со сторонами (правильный октаэдр). Этот многогранник состоит из двух правильных четырёхугольных пирамид, все рёбра которых равны . Высота каждой из этих пирамид равна половине ребра куба, т.е. , а площадь основания равна ()2= Следовательно, искомый объём равен

2· · · = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8574