Задача 110333

Темы:    [ Правильная пирамида ] [ Сфера, вписанная в пирамиду ] [ Двугранный угол ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Найдите объём правильной треугольной пирамиды с радиусом r вписанной сферы и углом β боковой грани с плоскостью основания.

Решение

Пусть Q – центр сферы радиуса r , вписанной в правильную треугольную пирамиду ABCD с вершиной D , K – середина BC (рис.1). Точка Q лежит на прямой DM , где M – центр основания ABC . По условию задачи DKM = β . Обозначим AB = BC = AC = a . Тогда

KM = , DM = KM tg MKD = .
Рассмотрим сечение пирамиды и сферы плоскостью, проходящей через точки D , K и M (рис.2). Получим окружность радиуса r с центром Q на прямой PM , касающуюся стороны KM угла DKM в точке M . Из прямоугольного треугольника KMQ находим, что
= KM = QM ctg MKQ = r ctg ,
откуда a = 2r ctg . Следовательно,
V_ABCD = S_{Δ ABC}· DM = · · DM = · a2· DM =

= · a2· = = = r3 tg β ctg3 .

Ответ

r3 tg β ctg3 = .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8516