Задача 110315

Тема:    [ Касающиеся сферы ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Центры четырёх сфер радиуса r (r < ) расположены в вершинах равнобедренного прямоугольного треугольника с катетами, равными 2, и в середине его гипотенузы. Найдите радиус сферы, касающейся этих четырёх шаров.

Решение

Пусть ABC – данный треугольник со сторонами AC = BC = 2 и прямым углом при вершине C , M – середина гипотенузы AB , O – центр искомой сферы, R – её радиус. Ясно, что искомая сфера не может касаться всех данных сфер внешним образом или всех данных сфер внутренним образом. Найдём R при условии, что искомая сфера касается сфер с центрами A , B и C – внешним образом, а сферы с центром M – внутренним (рис.1). В этом случае

OA = OB = OC = r + R, OM = |R - r|.
Из прямоугольного треугольника OAM находим, что
OA2 = OM2 + AM2, или (R + r)2 = (R - r)2 + 2,
откуда R = . Пусть сфера с центром O касается сфер с центрами A , C и M внутренним образом, а сферы с центром B – внешним (рис.2). В этом случае
OA = OC = OM = |R - r|, OB = R + r.
Так как OA = OC = OM , то ортогональная проекция K точки O на плоскость треугольника ABC равноудалена от вершин прямоугольного треугольника ACM . Поэтому K – середина AC . Из прямоугольного треугольника OKB находим, что
OB2 = OK2 + KB2 = OA2 - AK2 + KB2,
или
(R + r)2 = (R - r)2 - 1 + 5,
откуда R = . Точно так же для случая, когда сфера с центром O касается сфер с центрами B , C и M внутренним образом, а сферы с центром A – внешним. Пусть сфера с центром O касается сфер с центрами C и M внутренним образом, а сфер с центрами A и B – внешним (рис.3). В этом случае
OA = OB = R + r, OC = OM = |R - r|.
Так как OA = OB и OC = OM , то точка O лежит на прямой, проходящей через середину P отрезка CM перпендикулярна плоскости треугольника ABC . Из прямоугольных треугольников OAP и OCP находим, что
OP2 = OA2 - AP2 = OC2 - CP2,
или
(R + r)2 - = (R - r)2 - ,
откуда R = . Других случаев касания быть не может.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8437