Задача 110310

Темы:    [ Касающиеся сферы ] [ Цилиндр ] [ Конус ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Конус и цилиндр имеют равные основания и равные высоты. Их основания лежат в одной плоскости и касаются друг друга. Два сферы радиусов, равных радиусам оснований конуса и цилиндра, касаются между собой, боковых поверхностей конуса и цилиндра, а также плоскости, содержащей другое основание цилиндра и вершину конуса. Найдите угол при вершине осевого сечения конуса.

Решение

Пусть радиусы оснований цилиндра, конуса и радиусы сфер равны r (рис.1), а искомый угол равен α . Рассмотрим ортогональную проекцию конуса, цилиндра и сфер на указанную плоскость ϕ , содержащую вершину конуса и основание цилиндра (рис.2). Получим четыре окружности с центрами A , B , C и D радиусов r , причём окружности с центрами A , C и D попарно касаются друг друга, а окружность с центром B (ортогональная проекция оси конуса) касается окружности с центром A и пересекает окружности с центрами в точках C и D . Так как треугольник ACD равносторонний, то CAD = 60^o . Поэтому

CAB = DAB = CAD = 30^o.
Из равнобедренного треугольника ABC находим, что
BC = 2AB sin CAB = 4r sin 15^o = r( - ).
Рассмотрим сечение конуса и одной из сфер плоскостью, проходящей через ось конуса и центр этой сферы (рис.3). Получим равнобедренный треугольник KBL (осевое сечение конуса) с основанием KL = 2r и окружность с центром O (центр сферы) радиуса r , вписанную в угол LBC , где C – точка касания сферы с плоскостью ϕ . Из прямоугольного треугольника OBC находим, что
tg OBC = = = = .
Следовательно,
α = KBL = 180^o - 2 LBC = 180^o - 2· 2 OBC =

= 180^o - 4 OBC = 180^o - 4 arctg .

Ответ

π - 4 arctg .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8432